Distribución normal

Poll without page-refresh

Article on other languages:

**Normal**
Función de densidade As catro distribucións do gráfico son normales, con distintos valores da media e a desviación típica. A verde é a "normal reducida", de media cero e desviación típica un
Función de distribución As cores son as mesmas do pdf de arriba
Parámetros	$μ$ localización (real) $σ 2 > 0$ cadrado escala (real)
Soporte	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
pdf	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
cdf	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Media	$μ$
Mediana	$μ$
Moda	$μ$
Varianza	$σ 2$
Asimetría	0
Curtose	0
Entropía	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
mgf	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Func. caract.	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

A distribución normal ou gaussiana é a distribución de probabilidade que con máis frecuencia aparece na estatística e teoría de probabilidades. Isto débese a duas razóns fundamentalmente:

A súa función de densidade é simétrica e con forma de campana, o que favorece a súa aplicación como modelo a gran número de variables estatísticas.
É ademáis límite de outras distribucións e aparece relacionada con multitude de resultados ligados á teoría das probabilidades grazas ás súas propiedades matemáticas.

A función de densidade está dada por:

$P(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2 / 2\sigma^2}$

onde $μ$ é a media e $σ$ é a desviación estándar ( $σ 2$ é a varianza).

A distribución normal, tamén chamada distribución Gaussiana, é unha moi importante distribución de probabilidade en moitos campos. É unha familia de distribucións coa mesma forma xeral, diferenciándose nos seus parámetros de localización e escala: a media ("valor esperado") e a desviación estandar ("variabilidade"), respectivamente. A distribución normal estándar é a distribución normal con media cero e desviación estándar un (al líneas verdes nos gráficos da dereita). A miudo chámaselle curva de campana xa que a gráfica da sua densidade de probabilidade semella unha campana.

Índice

1 Resumo
2 Historia
3 Especificacións da distribución normal
4 Propiedades
- 4.1 Estandarización de variables aleatorias normales
- 4.2 Momentos
5 Véxase tamén
6 Referencias
7 Ligazóns externas

Resumo

A distribución normal é un modelo conveniente en fenómenos da natureza e en ciencias do comportamento. Unha grande variedade de test psicolóxicos e fenómenos físicos como a contaxe de fotóns seguen unha distribución normal. Mentras non se coñecen as causas de estes fenómenos, o uso da distribución normal pode xustificarse teoricamente en situacións nas que moitos pequenos efectos son engadidos a unha variable que pode ser observada. A distribución normal tamén aparece en moitas áreas da estatística: por exemplo, a distribución mostral da media é aproximadamente normal, ainda que a distribución da poboación da mostra non sexa normal. A distribución normal maximiza a entropía da información entre tódalas distribucións con media e varianza coñecida, o cal a fai a escolla natural de distribución de datos resumidos en termos de media e varianza. A distibución normal é a familia máis usada de distribución en estatística, e moitos test estatísticos están baseados na suposición de normalidade. Na teoría da probabilidade, as distribucións normales aparecen como as distribucións límite de varias familias de distribución continuas e discretas.

Historia

A distribución normal foi introducida por primeira vez por de Moivre nun artigo no 1733 (reimpreso na segunda edición do seu The Doctrine of Chances, 1738) no contexto de aproximar certas distribucións binomiales para un n grande. O seu resultado foi ampliado por Laplace no seu libro Analytical Theory of Probabilities (1812), e agora chámase Teorema de Moivre-Laplace.

Laplace usou a distribución normal na análise de errors nos experimentos. O método dos mínimos cadrados foi introducido por Legendre en 1805. Gauss, que reclamaba ter usado o método dende o 1794, xustificouno rigurosamente no 1809 asumindo unha distribución normal dos erros.

O nome "curva de campana" remóntase a Jouffret que usou o termo "curva de campana" no 1872 para unha distribución normal bivariable con compoñentes independentes. O nome "distribución normal" fou acuñado independentemente por Charles S. Peirce, Francis Galton e Wilhelm Lexis aredor do ano 1875. Esta terminoloxía e desafortunada, xa que reflexa e incremente a falacia de que moitas out todas as distribucións de probabilidade son "normales".

A cuestión de que a distribución se chame normal ou Gaussiana é un tema da ley de Stigler:

"Niñún descubrimento científico recibe o nome despois do seu descubridor orixinal."

Especificacións da distribución normal

Existen varias formas de especificar unha variable aleatoria. A máis visual é a función de densidade de probabilidade (gráfica superior), que representa a probabilidade de cada valor da variable aleatoria. A función de densidade acumulativa (función de distribución, integral da función de densidade de probabilidade), é unha forma máis clara conceptualmente de especificar a mesma información, pero para un ollo non entreado a gráfica é moito menos informativa. Formas equivalentes de especificar a distribución normal son: os momentos, a función característica, a función xeradora de momentos. Algúns son útiles para o traballo teórico, pero non son intuitivos.

Función densidade de probabilidade

Función densidade de probabilidade para catro conxuntos diferentes de parámetros (a línea verde é a normal estándar)

A función de densidade de probabilidade da distribución normal con media $μ$ e varianza $σ 2$ (equivalentemente, desviación estándar $σ$ ) é un expemplo de unha función Gaussiana,

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right).$

(Véxase tamén función exponencial e pi.)

se unha variable aleatoria $X$ ten esta distribución, escribimos $X$ ~ $N (μ,σ 2)$ . Se $μ = 0$ e $σ = 1$ , a distribución chámase distribución normal estándar e a función de densidade de probabilidade redúcese a

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right).$

A imaxe da dereita mostra a gráfica de unha función de densidade de probabilidade de unha distribución normal con varios conxuntos de parámetros.

Algunhas cualidades importantes da distribución normal son:

A función de densidade é simétrica respecto a media.
A media tamén é a moda e a mediana.
68.27% da área baixo a curva está dentro do rango de unha desviación estándar respecto á media..
95.45% da área baixo a curva está dentro do rango de duas desviacións estándar respecto á media.
99.73% da área está dentro do rango de tres desviacións estándar.
O punto de inflexión da curva ocorre a unha desviación estándar de distancia respecto á media..

Función de distribución

Función de distribución da función de densidade do gráfico superior

A función de distribución (cumulative distribution function, cdf) defínese como a probabilidade de que a variable $X$ teña un valor menor ou iguala $x$ , e é expresado en termos de función de densidade como

$F(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp -\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2} \, du .$

A cdf da normal estándar, representada normalmente como $Φ$ , é a cdf xeral evaluada con $μ = 0$ e $σ = 1$ ,

$\Phi(z) =F(x;0,1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) \, dx .$

A cdf da normal estándar pode expresarse en termos de unha función especial chamáda función error, como

$\Phi(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] .$

A función de distribución inversa, pode expresarse en termos da función inversa de error:

$\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right) .$

Esta función chámase as veces función probit.

Os valores de Φ(x) poden aproximarse bastante mediante varios métodos, como integración numérica, series de Taylor ou series asimptóticas.

Funcións xeradoras

Función xeradora de momentos

A función xeradora de momentos defínese como o valor esperado de $exp(t X)$ . Para unha distribución normal, pódese ver que a función xeradora de momentos é

$M_X(t)\,$	$= \mathrm{E} \left[ \exp(tX) \right]$
	$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac {1} {\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \exp (tx) \, dx$
	$= \exp \left( \mu t + \sigma^2 \frac{t^2}{2} \right)$

como pode verse completando o cadrado no expeñente.

Función característica

A función característica defínese como o valor esperado de $exp(i t X)$ , onde $i$ é a unidade imaxinaria e $i = \sqrt{-1}$ . Para a distribución normal, a función característica é

$\phi_X(t;\mu,\sigma)\!$	$= \mathrm{E} \left[ \exp(i t X) \right]$
	$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \exp(i t x) \, dx$
	$= \exp \left( i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) .$

A función característica obtense substituindo $t$ por $i t$ na función xeradora de momentos.

Propiedades

Algunhas das propiedades da distribución normal son:

Se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ e $a$ e $b$ son numreos rales, entón $a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2)$ (véxase valor esperado e varianza).
Se e son variables aleatorias normales e independentes entón:
- A súa suma é normalmente distribuida con $U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$ .
- A súa diferencia é normalmente distribuida con $V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$ .
- Ambas $U$ e $V$ son independentes unha da outra.
Se e son variables aleatorias normales e independentes, entón:
- O seu produto $X Y$ segue unha distribución con densidade $p$ dada por #*: $p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),$ onde $K 0$ é unha Función de Bessel modificada.
- O seu ratio segue unha distribución de Cauchy con $X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y)$ .
Se $X_1, \cdots, X_n$ son variables independentes estándar e normales, entón $X_1^2 + \cdots + X_n^2$ segue unha distribución chi-cuadrada con n graos de liberdade.

Estandarización de variables aleatorias normales

Como consecuencia da Propiedade 1, é posible relacionar tódalas variables aleatorias normales coa normal estándar.

Se $X$ ~ $N (μ,σ 2)$ , entón

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!$

é unha variable aleatoria normal estándar: $Z$ ~ $N (0,1)$ . Unha concecuencia importante é que a función de distribución (cdf) dunha distribución xeral normal é entón

$\Pr(X \le x) = \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right) .$

Igualmente, se $Z$ ~ $N (0,1)$ , entón

X = σ Z + μ

é unha variable aleatoria normal con media $μ$ e varianza $σ 2$ .

A distribución estándar normal está tabulada, e as outras distribucións normales son simples transformacións da estándar. Polo tanto, pódense utilizar valores tabulados da función de distribución da normal estándar para atopar os valores da función de distribución dunha normal xeral.